へっどらいん

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完全性(かんぜんせい)

論理学で、公理語が注文される性質を備えていることをいう。命題論理については、その公理から実証されることがすべてトートロジー(同語反復)であり、あべこべにトートロジーはすべて公理から実証されることであるが、この完全性が成り立ち上がることが、たやすく実証される。述語論理については、その定理が、述語のどの解釈に関しても正しく入ること、あべこべにまた、述語のどの解釈に関しても正しく入る命題がすべて定理と入ること、であるが、この完全性も成り立っていることを、1930年数学者ゲーデルが実証した。これはモデル理論の基本定理である。集合論においては、矛盾がなく、集合論の概念だけが使われた命題については、すべてその肯定形か否定形かのいずれかが定理と入ることであるが、この完全性は成り立ちえないことを、31年同じくゲーデルが実証した。これは、多くの論理学者の期待を踏み躙る結果で、当場合多大のセンセーションを引き起こした。


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