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直観主義(ちょっかんしゅぎ)

数学の基礎に関する一つの立場である。数学を単に形式的な論理的演繹(えんえき)体系とみなす形式主義に対し、直観主義では、数学的真理や対象が、数学を考えていく意風味や内容によって真っ直ぐにとらえられるものであるという考えにたつ。直観主義の草分けとしては、古くはL?クロネッカーとH?ポアンカレをあげることができる。数学を根本から直観主義的に再構成しようと初っ端に試みたのはブラウアーLuitzen Egbertus Jan Brouwer(1881―1966)である。彼は形式主義を掲げるヒルベルトと激しく論争を継続した。現在、直観主義という語は、このブラウアーの伝統を差し引く数学の一領域をさすことが多い。

ブラウアーは1908年に、ア書き出したテレス以来の古典論理の法則に批判を投げかけた。彼は、「AかAの否定が成り立ち上がる」ことをすべての命題Aについて正しいとする排中律を認めない。たとえば、排中律「集合Sには、性質Pをもつ元が存在するか存在しないかいずれかである」という命題Mを考える。いま、集合Sのおのおのの元について、それが性質Pをもつか否かを決定できるものと仮定しよう。Sが有限集合ならば、Sの各元について性質Pをもつかどうかを調べ尽くすことができ、Mが成り立ち上がることがわかる。しかし、このようなPについても、Sが一番限集合のときには理由が異なる。すなわち、Sの一番限個の各元が性質Pをもつか否かを調べ尽くすことはできない。確か入れいって、性質Pをもつ元をみつければ、命題Mは実証される。しかし、そのような元をまだみつけていないときには、Sには性質Pをもつ元が存在しないのか、あるいは、存在するのにまだみつけていないのかを知ることはできない。ブラウアーは、排中律「AかAの否定」は、AかAの否定のうちのどちらか一方が正しいことがわかったときにのみ正しいのであって、前出の一番限集合Sの時には、排中律を、論理の普遍的に正しい法則としては認めない。同様に、「与えられた性質をもつ対象が存在する」ということは、そのような対象をみつけるか、あるいはそのような対象を構成する手立てが与えられたときにだけ実証されたものと同意する。したがって、「存在しない」という仮定から矛盾を導いて「存在する」ことを間接的に導くような実証を認めない。これは、命題Aの否定の否定(二重否定)からAを導くことを拒絶することにつながる。こうした考え方は、その後多くの数学者たちからも浴び入れられた。

ブラウアーは、直観主義の立場から、解析学や集合論を展開したが、以前の数学とはたいそう相違、また実際の数学の理論に適用するにはあまりにも複雑なものとなった。しかし、彼の考え方は、数学の基礎の探求には大切な役割を演じた。また、彼の用いた論理は、その後、直観主義論理として整理され、現在も大切な探求対象である。フランスのボレルやルベーグらも、直観主義的立場からの数学批判をする学者であるが、その議論の基礎にある諸概念の分析に、体験主義的な考え方をも取り込んでいるので、半直観主義とかフランス体験主義とかよ露見している。


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