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実証(しょうめい)

ある命題に対し、その正当性を示すものを、その命題の実証という。数学的理論における命題の実証とは、その理論の公理系からその命題に至る推論の列のことである。ある命題に対し、の実証が存在するとき、はその理論における「定理」とよばれる。命題の実証は、並、すでに実証されている命題からに至る推論の列、という形をとる。からに至る推論の列が存在すれば、に対しては実証、すなわち、いくつかの公理からに至る推論の列がすでに存在しているから、これとあわせれば、公理系からに至る推論の列が得られるわけである。

数学において、ある命題が「正しい」とは、その理論のなかでその命題が成立すること、すなわち、その命題の実証が存在することである。数学の実証における推論は演繹(えんえき)的推論、つまり、普遍的命題から特殊な命題を導く推論であって、つねに成立する推論のみが許される。したがって、数学で「正しい」とされる命題は、つねに成立する命題のみである。

これに対して、天然科学などで用いられる推論には、帰納的推論、つまり、いくつかの特殊な命題から普遍的命題を導く推論が多い。したがって、「太陽は東から昇る」などの命題は、ほとんどおこりえないような可能性では、成立しないかもしれないが、一般には「正しい」とされるのである。

数学では、つねに成立する命題が「正しい」とされるのであるから、数学で「正しくない」とは、成立しない時がありうる、という意風味である。したがって、「正しくない」ことを実証するには、その命題が成立しない時を指摘すれば十分である。この成立しない時の例を反例とよぶ。たとえば、「を2以上の天然数とするとき、2n-1の形の天然数は素数である」という命題は正しくないが、それを示すためには、「n=4のとき、2n-1は15であって素数でない」という反例があれば十分なのである。「正しい」とは実証が存在することであったから、「正しくない」とは実証が存在しないことを意風味する。反例があれば実証は存在しない。実証が存在するとすれば、それは、反例の存在によって、矛盾するからである。


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