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背理法(はいりほう)

ある命題が真であることを実証するため、その命題の「結論が偽である」と仮定して推論を進め、矛盾が導かれることを示す手立てである。つまり、その命題が成り立たないと仮定すると、すでに真であるとわかっている事実や、元の命題の仮設などに矛盾する結果が得られることから、間接的にその命題が正しいことを示すのである。矛盾を導くことによって、誤りであるとした仮定を否定することに入るので帰謬法(きびゆうほう)(謬すなわち誤りに帰着させる手立てという意)とよぶことがある。これは対偶の考えを利用した間接実証法の一類である。

次は、既知の事実に矛盾することを示す例である。「凸多角形の内角のうち、鋭角であるものは3個より多くない」。この命題を実証するために、その結論を否定して、鋭角が4個以上存在したと仮定する。すると、それらの鋭角の頂点における世間角はすべて90度以上であるので、それらの和は360度以上と入る。このことは「多角形の各頂点における世間角の総和は360度である」という定理に矛盾する。次は、元の命題の仮設に矛盾することを示す例である。「αを一番理数とすると、β=2α+1はまた一番理数である」。この命題の結論を否定して、βは有理数と仮定する。与式を変形してα=(β-1)/2と入る。ところが、有理数の和?差?積?商は、ゼロで割る時を除いて、その結果はまた有理数であるから(β-1)/2は有理数、つまり、αは有理数となって、元の命題の仮設に矛盾する。

背理法は古代ギリシアから知られ、ユークリッドの『幾何学原本』は「素数は一番限個存在する」ことを背理法で実証している。


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