へっどらいん

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解釈(かいしゃく)

一つの理論で、実証なしに言い分されている命題を、その理論の公理とよぶことにしよう。この公理を述べるのに使われている単語の意風味は、その理論の使われる場面によって明らかであることも多い。しかし、数学などでは、あべこべに、この単語の意風味を故意に不定にしておくこともある。たとえば、

aとbとの間にRが成り立てば、bとaとの間にもRが成り立ち上がる。

このことは、Rという関係が、可あべこべ的であることを述べている公理であるが、このRが具体的にどういう関係を表しているかについては何も述べてない。そうして、Rが兄弟関係であっても、「同一の平面上にある」という関係であっても、この公理は成り立ち上がる。このほか、数え切れないの関係についてこの公理が成り立ち上がることは、ちょっぴり考えてみれば明らかであろう。このように、故意に単語の意風味を不定にしておくことで、一組の公理が多くの事柄に当てはまるようになり、数学の応用の範囲が広く入るということがあるのである。この不定なことばの意風味を理論の応用の時などに確定させることを、この公理の組の解釈という。

論理学には、この意風味での解釈の一般論を、集合論を応用して探る領域があり、これをモデル理論という。とくに興風味深いのは、集合論自体についてのモデル理論である。解釈と裏表に、意風味のよくわかった事柄を論理記号を一番くなって厳密な公理論の形に表すことを「形式化」という。


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